Hur man hittar en sfärens volym

Sphere, ungefär, är formen på en vanlig tennisboll eller fotboll. Formen är så vanlig i naturen, från planets form och stjärnor till små vattendroppar. Det har också betydelse inom teknik och vetenskap. Därför är det viktigt att känna till sfärernas egenskaper och sätt att mäta dem. Volymen är ett sådant attribut.

Matematiskt definieras sfären som ytan som skapas av uppsättningen punkter som ligger i ett konstant avstånd från en fast punkt i rymden, där den konstanta gropen är känd som centrum och avståndet från mitten till ytan är känt som radie. Vilket objekt som helst som uppvisar ovan nämnda karaktäristik sägs ha en sfärisk form. Om insidan av sfären är tom kallas den som ett sfäriskt skal eller en ihålig sfär. Om insidan av sfären är fylld kallas den som en fast sfär .

Volym av en sfär - Formel

En sfärs volym ges med formeln,

Denna formel uppnåddes först av Archimedes med resultatet att en sfär upptar 2/3 av volymen av en omtänkt cylinder. En halv sfär är den ena halvan av en komplett sfär och en halvsfärs volym är hälften av sfären. Därför ges halvan av sfären med formeln,

Volym av en halv-sfär - formel

Dessa formler erhålles genom integrationsmetoder. Betrakta en sfär med radien av r centrerad vid ursprunget för koordinataxlarna som visas ovan. Ett litet inkrementellt avstånd i x-riktningen ges av dx. En tjocklek av tjocklek dx har ungefär en cylindrisk form med en radie y. Volymen på cylindern kan anges som (dV) = πy ^ 2 dx. Därför ges sfärens volym av integralet inom radiens gränser,

För att hitta sfärens volym måste endast en sfärens kula vara känd, vilken är sfärens radie. Om diametern är känd kan raden lätt beräknas med relationen D = 2r. Efter bestämning av radie, använd formeln härledd ovan. 

Hur man hittar en sfärens volym: Exempel

• Radens kula är 10 cm. Vad är sfärens volym?

   Radien ges. Därför kan sfärens volym beräknas enligt följande,

Hur man hittar volymen på en halv sfär: Exempel

• En sfärisk formvattentank har en diameter på 5m. Om vattnet fylls med en hastighet av 5 s^-1. Om tanken var halvfylld i början, hur lång tid tar det för att fylla tanken helt?

   Problemet måste lösas i två enkla steg. Först måste vi hitta den tomma volymen i början och sedan hitta den tid det tar för att fylla den volymen. Tanken är halvfylld i början. Därför måste vi beräkna volymen på en halv sfär, vilket också är volymen fylld med vatten.