Hur man beräknar binomial sannolikhet

Binomialfördelning är en av de elementära sannolikhetsfördelningarna för diskreta slumpvariabler som används i sannolikhetsteori och statistik. Den ges namnet eftersom den har binomialkoefficienten som är inblandad i varje sannolikhetsberäkning. Den väger i antal möjliga kombinationer för varje konfiguration.

Tänk på ett statistiskt experiment där varje händelse har två möjligheter (framgång eller misslyckande) och p sannolikhet för framgång. Varje händelse är också oberoende av varandra. En enda händelse av sådan art kallas en Bernoulli-försök. Binomialfördelningar appliceras på successiv sekvens av Bernoulli-försök. Nu, låt oss ta en titt på metoden för att hitta binomial sannolikhet.

Hur man hittar binomial sannolikhet

 Om X är antalet framgångar från n (ändliga mängder) oberoende Bernoulli-försök, med sannolikhet för framgång p, då sannolikheten för X Framgångar i experimentet ges av,

ⁿC_x kallas binomialkoefficienten.

X sägs vara binomialt fördelat med parametrar p och n, ofta betecknad med beteckningen Bin (n, s).

Medelvärdet och variansen av binomialfördelningen ges i förhållande till parametrarna n och p. 

Formen på den binomiella fördelningskurvan beror också på parametrarna n och p. När n är liten, fördelningen är ungefär symmetrisk för värden p≈.5 intervall och mycket skev när p är i 0 eller 1 intervall. När n är stor, fördelningen blir jämnare och symmetrisk med märkbar skev när p är i det extrema 0 eller 1-intervallet. I följande diagram representerar x-axeln antalet försök och y-axeln ger sannolikheten. 

  Hur man beräknar binomial sannolikhet - exempel

1. Om ett förspänt mynt kastas 5 gånger successivt och chansen att lyckas är 0,3, hitta sannolikheten i följande fall.

en) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Medel av fördelningen

e) Fördelningens fördelning

Från experimentens detaljer kan vi härleda att fördelningarna av sannolikheter är binomiala i naturen med 5 på varandra följande och oberoende försök med framgångssannolikhet 0.3. Därför är n = 5 och p = 0,3. 

en) P (X = 5) = sannolikhet för att få framgångar (huvuden) för alla fem försöken

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = sannolikhet för att få fyra eller färre antal framgångar under experimentet 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0,00243 = 0,99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

För att beräkna binomial sannolikhet för att få bara fyra framgångar (P (X) = 4) har vi,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Medel = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Varians = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05