Hur man löser vertikala cirkulärrörelser

I den här artikeln kommer vi att titta på hur man löser problem med vertikala cirkulär rörelse. Principerna som används för att lösa dessa problem är desamma som de som används för att lösa problem med centripetal acceleration och centripetalkraft. Till skillnad från horisontella cirklar varierar krafterna som verkar på vertikala cirklar när de går runt. Vi kommer att överväga två fall för objekt som rör sig i vertikala cirklar: när föremål rör sig i konstant fart och när de rör sig i varierande hastigheter.

Hur man löser vertikala cirkulära rörelsesproblem för föremål som reser med konstant hastighet

Om ett objekt reser med konstant hastighet i en vertikal cirkel, då centripetalkraften på objektet, förblir densamma. Låt oss exempelvis tänka på ett objekt med massa som svängs om i en vertikal cirkel genom att fästa den i en sträng av längd . Här då, är också radie för cirkelrörelsen. Det kommer att finnas en spänning alltid agerar längs strängen, spetsade mot mitten av cirkeln. Men värdet av denna spänning kommer ständigt att variera, vilket vi kommer att se nedan.

Vertikal cirkulär rörelse av ett objekt vid konstant hastighet v

Låt oss överväga objektet när det är längst upp och botten av sin cirkulära väg. Både objektets vikt, , och centripetalkraften (spetsad i mitten av cirkeln) förblir densamma.

Hur man löser vertikala cirkulära rörelsesproblem - Konstant hastighetsobjektspänning överst och underifrån

Spänningen är störst när objektet är längst ner. Det är här strängen är mest sannolikt att bryta.

Hur man löser vertikala cirkulära rörelsesproblem för föremål som reser i varierande hastighet

För dessa fall betraktar vi förändringen i objektets energi när den färdas runt cirkeln. Överst har föremålet mest potentiell energi. När objektet kommer ner, förlorar det potentiell energi, som omvandlas till kinetisk energi. Det betyder att föremålet snabbare upp när det kommer ner.

Antag att ett föremål som är fäst vid en sträng rör sig i en vertikal cirkel med varierande hastighet så att objektet uppe i toppen har bara tillräckligt med hastighet för att bibehålla sin cirkulära bana. Nedan kommer vi att härleda uttryck för det här objektets minsta hastighet överst, maxhastigheten (när den är längst ner) och strängens spänning när den är längst ner.

På toppen är centripetalkraften nedåt och  . Föremålet kommer att ha bara tillräckligt med hastighet för att behålla sin cirkulära bana om strängen bara ska gå slack när den är högst upp. För detta fall, strängens spänning är nästan 0. Sätt in detta i centripetalkraftekvationen, vi kommer att ha . Sedan, .

När objektet är längst ned är dess kinetiska energi större. Förhöjningen i kinetisk energi är lika med förlusten i potentiell energi. Objektet faller genom en höjd av  när den når botten, så är vinsten i kinetisk energi . Sedan,

.

Sedan vår , vi har

 Därefter ser vi på spänningen i strängen längst ner. Här styrs centripetalkraften uppåt. Vi har då

. ersätta , vi får .

Förenklar ytterligare, slutar vi med:

.

Vertikala cirkulära rörelseproblem - Exempel

Swinging Buckets of Water Overhead

En hink vatten kan svängas över huvudet utan att vattnet faller ned om det flyttas i tillräckligt hög hastighet. Vikten  av vattnet försöker dra vattnet ner; dock centripetalkraften  försöker hålla objektet i den cirkulära vägen. Centripetalkraften i sig består av vikten plus den normala reaktionskraften som verkar på vattnet. Vatten kommer att stanna kvar på den cirkulära vägen så länge som .

Hur man löser vertikala cirkulär rörelse problem - svänga en hink vatten

Om hastigheten är låg, så att , då är inte hela vikten "upptaget" för att skapa centripetalkraften. Den nedåtriktade accelerationen är större än centripetal acceleration, och så kommer vattnet att falla ner.

Samma princip används för att behålla objekt som faller när de går igenom "loop loop" -motionerna som sedd i till exempel berg-och dalbana rider och i airshows där stuntpiloter flyger sina flygplan i vertikala cirklar, med flygplan som reser "uppåt ner "när de når toppen.

 Exempel 1

London ögat är ett av de största pariserhjulen på jorden. Den har en diameter på 120 m och roterar med en hastighet av ca 1 fullständig rotation per 30 minuter. Med tanke på att den rör sig i konstant fart, hitta

a) centripetalkraften på en passagerare med massa 65 kg

b) reaktionskraften från sätet när passageraren är på toppen av cirkeln

c) reaktionskraften från sätet när passageraren är i botten av cirkeln

Hur man löser vertikala cirkulära rörelseproblem - Exempel 1

Obs! I detta speciella exempel ändras reaktionskraften med mycket lite, eftersom vinkelhastigheten är ganska långsam. Observera dock att de uttryck som används för att beräkna reaktionskrafterna på toppen och botten är olika. Detta betyder att reaktionskrafterna skulle vara betydligt olika när större vinkelhastigheter är involverade. Den största reaktionskraften skulle kännas i botten av cirkeln.

Vertikala cirkulära rörelsesproblem - Exempel - London Eye

Exempel 2

En påse mjöl med en massa av 0,80 kg svängs omkring i en vertikal cirkel med en sträng 0.70 m lång. Väskans hastighet varierar när den färdas runt cirkeln.

a) Visa att en minsta hastighet på 3,2 m s^-1 är tillräcklig för att hålla påsen i cirkulär bana.

b) Beräkna spänningen i strängen när påsen ligger högst upp i cirkeln.

c) Hitta väskans hastighet på ett ögonblick när strängen har flyttat nedåt med en vinkel på 65^o från toppen.

Hur man löser vertikala cirkulära rörelseproblem - Exempel 2