Hur man hittar massans centrum

Masscentrum - Definition

Den punkt på vilken hela kroppen eller systemet kan anses vara koncentrerad kallas masscentrumet. Det är med andra ord den punkt där kroppens totala system eller system har samma effekt när de koncentreras till en punktmassa.

Beräkning av massans centrum

En styv kropp har en kontinuerlig massfördelning. Ett system av massor kan ha antingen kontinuerlig eller diskret massdistribution. För att förstå konceptet bättre kan vi överväga ett system med två punktmassor m₁ och M₂ placerad vid (x₁,y₁) och (x₂,y₂).

Systemets centrum kommer att ges av koordinaterna (x_CENTIMETER,y_CENTIMETER) erhållen med följande formel. 

Om z-koordinaterna ges också, kan z-koordinaterna för masscentrumet erhållas med samma metod. Massens mitt skiljer inbördes avståndet mellan de två punkterna och avståndet från CM till varje massa (r) i motsats till massan (m). d.v.s. ral / m. Därför följer följande relation för tvåpunkts masssystem. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Resultatet för tvåpunktsmassor kan förlängas till många partikelsystem enligt följande. Om partikelns koordinater m_jag ges av (x_jag,y_jag ) då koordinaterna för masscentrumet för det många partikelsystemet ges av, 

 

En kontinuerlig massfördelning kan approximeras som en samling av oändliga massor. Därför ger de begränsande fallen av ovanstående resultat koordinaterna för masscentrumet.

Om objektet har likformig massfördelning (likformig densitet) och vanligt geometriskt objekt ligger massans centrum vid objektets geometriska mittpunkt. Det bör också noteras att massmassan (CM) och tyngdpunkten (CG) används synonymt i de flesta situationer. De är emellertid olika, och de sammanfaller endast när gravitationsfältet som verkar på kroppen eller systemet är enhetligt. I annat fall skiljs mitten av tyngdpunkten och tyngdpunkten.

Detta gäller för alla föremål i jordens gravitation. Skillnaden i stället för mass- och tyngdpunkten är dock för liten för små föremål, men för stora föremål, särskilt långa föremål som en raket på dess startbricka, är det en signifikant separation mellan massans centrum och tyngdpunkten.

Hur man hittar massans centrum - Exempel

Center of Mass Exempel 01. Massor m, 3m, 4m och 6m är placerade vid koordinaterna (2, -6), (4,0), (- 1,3) respektive (-4,4). Hitta mitten av massan av systemet. 

Center of Mass Exempel 02. Månens banor på 385000 km från jordens mittpunkt. Om månens massa är 7.3477 × 10²² kg eller 0,012300 av jordens massa, hitta avståndet till mitten av jord- och månsystemet, från jordens centrum.

Från förhållandet r₁/ r₂ = m₂/ m₁ vi kan härleda att r_jord/ r_måne = m_måne/ m_jord . Eftersom månens bana är 385000 km och med tanke på de tillgängliga förhållandena är avståndet till massans centrum från jordens centrum

r_jord/ (R_måne+r_jord ) × 385000 km = m_måne/ (M_jord+m_måne ) × 385000 km.

Utbyte av värden och förenkling ger 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (Här är månens massa bestämd som en bråkdel av jordens massa, dvs m_måne/ m_jord = 0,0123)

Separationen är signifikant (1,25% av månbanan) eftersom månen har en betydande massa, men för mindre föremål som en bil, är förhållandet m_bil/ m_jord är noll för alla praktiska beräkningar.