Skillnad mellan Riemann Integral och Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integration är ett huvudämne i beräkningen. I broders mening kan integration ses som en omvänd process av differentiering. När man modellerar verkliga problem är det lätt att skriva uttryck som involverar derivat. I en sådan situation krävs integrationsoperationen för att hitta funktionen, som gav det specifika derivatet.

Från en annan vinkel är integration en process som summerar produkten av en funktion ƒ (x) och δx, där δx tenderar att vara en viss gräns. Det är därför vi använder integrationssymbolen som ∫. Symbolen ∫ är faktiskt vad vi erhåller genom att sträcka bokstaven s för att referera till summan.

Riemann Integral

Tänk på en funktion y = ƒ (x). Integreringen av y mellan en och b, var en och b tillhör en uppsättning x, skrivs som _b∫^enƒ (x) dx = [F(X)]_en→b = F(b) - F(en). Detta kallas en bestämd del av den enda värderade och kontinuerliga funktionen y = ƒ (x) mellan a och b. Detta ger området under kurvan mellan en och b. Detta kallas också Riemann integral. Riemann integral skapades av Bernhard Riemann. Riemann-integral av en kontinuerlig funktion baseras på Jordan-mätningen, därför definieras den också som gränsen för Riemann-summan av funktionen. För en reell värderad funktion definierad på ett slutet intervall, är funktionen Riemann-integral med avseende på en partition x₁, x₂,..., x_n definierad på intervallet [a, b] och t₁, t₂,..., t_n, där x_jag ≤ t_jag ≤ x_{i + 1} för varje i e 1, 2, ..., n definieras Riemann summan som Σ_{i = o till n-1} ƒ (t_jag) (X_{i + 1} - x_jag).

Lebesgue Integral

Lebesgue är en annan typ av integral, som täcker en mängd olika fall än Riemann integral gör. Lebesgue integral infördes av Henri Lebesgue 1902. Legesgue integration kan betraktas som en generalisering av Riemann integrationen.

Varför behöver vi studera ytterligare en helhet?

Låt oss överväga den karakteristiska funktionen ƒ_{A (x) = 0 om, x inte ε A}^{1 om, x ε A} på en uppsättning A. Därefter begränsas linjär kombination av karakteristiska funktioner, som definieras som F(x) = Σ a_jagƒE_jag(x) kallas den enkla funktionen om E_jag är mätbar för varje jag. The Lebesgue integral of F(x) över E betecknas av _E∫ ƒ (x) dx. Funktionen F(x) är inte Riemann integrerbar. Därför omformulerar Lebesgue integral Riemann integral, som har vissa begränsningar för funktionerna som ska integreras.