Skillnad mellan Fourier-serien och Fourier-transformen

Fourier-serien mot Fourier Transform

Fourier-serien sönderdelar en periodisk funktion i en summa av sines och cosinus med olika frekvenser och amplitud. Fourier-serien är en gren av Fourier-analysen och introducerades av Joseph Fourier. Fourier Transform är en matematisk operation som bryter en signal till dess ingående frekvenser. Den ursprungliga signalen som ändrats med tiden kallas tidens domänrepresentation av signalen. Fouriertransformen kallas frekvensdomänrepresentationen av en signal eftersom det beror på frekvensen. Både frekvensdomänrepresentationen av en signal och processen som används för att transformera den signalen in i frekvensdomänen kallas Fourier-transformen.

Vad är Fourier-serien?

Som tidigare nämnts är Fourier-serien en expansion av en periodisk funktion med oändlig summa av sines och cosines. Fourier-serien utvecklades initialt när man löste värmekvationer men senare upptäcktes att samma teknik kan användas för att lösa en stor uppsättning matematiska problem speciellt de problem som involverar linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Fourier-serien har nu applikationer inom ett stort antal områden, inklusive elektroteknik, vibrationsanalys, akustik, optik, signalbehandling, bildbehandling, kvantmekanik och ekonometri. Fourier-serien använder ortogonalitetsförhållandena mellan sinus och cosinusfunktioner. Beräkningen och studien av Fourier-serien är känd som den harmoniska analysen och är mycket användbar när man arbetar med godtyckliga periodiska funktioner, eftersom det gör det möjligt att bryta funktionen på enkla termer som kan användas för att få en lösning på det ursprungliga problemet.

Vad är Fourier transformation?

Fourier-transformen definierar en relation mellan en signal i tidsdomänen och dess representation i frekvensdomänen. Fourier-transformen sönderdelar en funktion i oscillerande funktioner. Eftersom detta är en transformation, kan den ursprungliga signalen erhållas från att känna till transformationen, såmed blir ingen information skapad eller förlorad i processen. Studier av Fourier-serien ger faktiskt motivation för Fourier-transformen. På grund av egenskaperna hos sines och cosines är det möjligt att återställa mängden av varje våg som bidrar till summan med hjälp av en integral. Fouriertransformen har några grundläggande egenskaper som linjäritet, översättning, modulering, skalning, konjugation, dualitet och konvolvering. Fourier-transformen appliceras för att lösa differentialekvationer, eftersom Fouriertransformen är nära relaterad till Laplace-transformation. Fouriertransformationen används också i kärnmagnetisk resonans (NMR) och i andra typer av spektroskopi.

Skillnad mellan Fourier-serien och Fourier-transformen

Fourier-serien är en expansion av periodisk signal som en linjär kombination av sines och cosines medan Fourier-transform är processen eller funktionen som används för att konvertera signaler från tidsdomän till frekvensdomänen. Fourier-serien definieras för periodiska signaler och Fourier-transformen kan appliceras på aperiodiska signaler som inte uppträder utan periodicitet. Som nämnts ovan ger studien av Fourier-serien faktiskt motivation för Fourier-transformen.