Skillnad mellan derivat och integral

Derivat vs Integral

Differentiering och integration är två grundläggande operationer i Calculus. De har många tillämpningar inom flera områden, som matematik, teknik och fysik. Både derivat och integral diskuterar uppförandet av en funktion eller beteende hos en fysisk enhet som vi är intresserade av.

Vad är derivat?

Antag att y = ƒ (x) och x₀ ligger inom ƒ. Sedan lim_{Ax → ∞}Δy / xx = lim_{Δx → ∞}[Ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx kallas den momentana förändringshastigheten av ƒ vid x₀, ge denna gräns existerande slutgiltigt Denna gräns kallas även derivatet av at och betecknas av ƒ (x).

Värdet av derivatet av en funktion f på en godtycklig punkt x i domänen för funktionen ges av lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / xx. Detta betecknas med något av följande uttryck: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_xy.

För funktioner med flera variabler definierar vi partiell derivat. Det partiella derivatet av en funktion med flera variabler är dess derivat med avseende på en av dessa variabler, förutsatt att de andra variablerna är konstanter. Symbolen för det partiella derivatet är ∂.

Geometriskt kan derivaten av en funktion tolkas som kurvens höjd av funktionen ƒ (x).

Vad är Integral?

Integration eller antidifferentiering är den omvända processen av differentiering. Det är med andra ord processen att hitta en originalfunktion när funktionens derivat ges. Därför är ett integrerat eller ett derivat av en funktion ƒ (x) om, ƒ (x) =F(x) kan definieras som funktionen F(x), för alla x i domänen av ƒ (x).

Uttrycket ∫ƒ (x) dx betecknar derivatet av funktionen ƒ (x). Om ƒ (x) =F(x), då ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, där C är en konstant, ∫ƒ (x) dx kallas det obestämda integralet av ƒ (x).

För någon funktion ƒ, som inte nödvändigtvis är negativ, och definieras i intervallet [a, b], _en∫^bƒ (x) dx kallas det bestämda integralet ƒ på [a, b].

Det bestämda integralet _en∫^bƒ (x) dx av en funktion ƒ (x) kan geometriskt tolkas som områdets yta avgränsad av kurvan ƒ (x), x-axeln och linjerna x = a och x = b.