Skillnad mellan derivat och differens

Derivat vs Differential
 

I differentialkalkylen är derivat och differentiering av en funktion nära besläktade men har väldigt olika betydelser och används för att representera två viktiga matematiska objekt relaterade till differentierbara funktioner.

Vad är derivat?

Derivat av en funktion mäter den takt vid vilken funktionsvärdet ändras när ingångsändringarna ändras. I flera variabla funktioner beror ändringen i funktionsvärdet på riktningen för förändringen av värdena för de oberoende variablerna. Därför väljs en specifik riktning i sådana fall och funktionen differentieras i den specifika riktningen. Det här derivatet kallas riktningsderivatet. Partiella derivat är en speciell typ av riktningsderivat.

Derivat av en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen vart det existerar. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningstakten för funktionen f längs vektorns riktning u. I fallet med en värderingsfunktion reduceras detta till den välkända definitionen av derivatet,  

Till exempel, är överallt differentierbar, och derivatet är lika med gränsen, , vilket är lika med . Derivat av funktioner som   finns överallt. De är lika med funktionerna .                                                                                

Detta är känt som det första derivatet. Vanligtvis det första derivatet av funktionen f betecknas av f ⁽¹⁾. Nu med den här notationen är det möjligt att definiera högre orderderivat. är det andra ordningsriktningsderivatet och betecknar n^th derivat av f ⁽ⁿ⁾ för varje n, ,  definierar n^th derivat.

Vad är differential?

Skillnaden i en funktion representerar förändringen i funktionen med avseende på förändringar i den oberoende variabeln eller variablerna. I den vanliga notationen, för en given funktion f av en enda variabel x, Den totala skillnaden i order 1 df är getts av, . Detta betyder att för en oändlig förändring i x(dvs dx), det kommer vara en  f ⁽¹⁾(x) dx förändring i f.

Med gränser kan man sluta med denna definition enligt följande. Antag Δx är förändringen i x på en godtycklig punkt x och Δf är motsvarande ändring i funktionen f. Det kan visas att Δf = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, där ε är felet. Nu är gränsen Δx →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (med den tidigare angivna definitionen av derivat) och sålunda, Ax →0^ε/_Δx= 0. Därför är det möjligt att dra slutsatsen att, Δx →0ε = 0. Nu betecknar Δx →0 Δf som df och Δx →0 Δx som dx definitionen av differentialen erhålls noggrant. 

Till exempel, differentieringen av funktionen är .

När det gäller funktioner av två eller flera variabler definieras den totala differensen av en funktion som summan av skillnader i riktningarna för var och en av de oberoende variablerna. Matematiskt kan det anges som .