Skillnad mellan associativ och commutativ
Share
Associative vs Commutative
I våra dagliga liv måste vi använda siffror när vi behöver mäta något. I mataffären, vid bensinstationen, och även i köket, måste vi lägga till, subtrahera och multiplicera två eller flera kvantiteter. Från vår övning utför vi dessa beräkningar ganska enkelt. Vi märker aldrig eller ifrågasätter varför vi utför dessa operationer på detta speciella sätt. Eller varför dessa beräkningar inte kan göras på ett annat sätt. Svaret är gömt i det sätt som dessa operationer definieras i algebraets matematiska fält.
I algebra definieras en operation med två kvantiteter (tillägg) som en binär operation. Mer exakt är det en operation mellan två element från en uppsättning och dessa element kallas "operand". Många verksamheter inom matematik, inklusive aritmetiska operationer som nämnts tidigare och de som uppträder i uppsättningsteorin, linjär algebra och matematisk logik kan definieras som binära operationer.
Det finns en uppsättning styrande regler som gäller en viss binär operation. Associativa och de kommutativa egenskaperna är två grundläggande egenskaper hos de binära operationerna.
Mer om Commutative Property
Antag att någon binär operation, betecknad med symbolen ⊗, utförs på elementen en och B. Om operandernas ordning inte påverkar resultatet av operationen sägs operationen vara kommutativ. d.v.s. om en ⊗ B = B ⊗ en då är operationen kommutativ.
Den aritmetiska operationstillägget och multiplikationen är kommutativa. Ordningen av de siffror som lagts till ihop eller multipliceras tillsammans påverkar inte det slutliga svaret:
en + B = B + en ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
en × B = B × en ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Men när det gäller divisionsbyte i ordern ger den ömsesidiga den andra, och i subtraktion ger förändringen negativet av den andra. Därför,
en - B ≠ B - en ⇒ 4 - 5 = -1 och 5 - 4 = 1
en ÷ B ≠ B ÷ en ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 och 5 ÷ 4 = 1,25 [i detta fall en,B ≠ 1 och 0]
Faktum är att subtraktionen sägs vara anti-commutativ; var en - B = - (B - en).
Också de logiska kopplingarna, konjunktionen, disjunktionen, implikationen och ekvivalensen är också kommutativa. Sanningsfunktioner är också kommutativa. Den inställda verksamhetsunionen och korsningen är kommutativa. Additionen och vektorns skalärprodukt är också kommutativa.
Men vektorsubtraktion och vektorprodukt är inte kommutativ (vektorprodukt av två vektorer är anti-kommutativ). Matristillägget är kommutativt, men multiplikationen och subtraktionen är inte kommutativa. (Multiplicering av två matriser kan vara kommutativ i speciella fall, såsom multiplicering av en matris med sin inverse eller identitetsmatris, men definitivt matriser är inte kommutativa om matriserna inte är av samma storlek)
Mer om Associative Property
En binär operation sägs vara associativ om exekveringsordningen inte påverkar resultatet när två eller flera förekomster av operatören är närvarande. Tänk på elementen A, B och C och binär operationen ⊗. Operationen ⊗ sägs vara associativ om
en ⊗ B ⊗ C = en ⊗ (B ⊗ C) = (en ⊗ B) ⊗ C
Från de grundläggande aritmetiska funktionerna är endast addition och multiplikation associativ.
en + (B + C) = (en + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
en × (B × C) = (en × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Subtraktion och delning är inte associativa;
en - (B - C) ≠ (en - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 och (5 - 4) - 3 = -2
en ÷ (B ÷ C) ≠ (en ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 och (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Den logiska förbindelserna, konjunktionen och ekvivalensen är associativa, liksom även den inställda operationsföreningen och korsningen. Matris- och vektortillsatsen är associativ. Den skalära produkten av vektorer är associativ, men vektorgruppen är inte. Matrixförökning är endast associerande under särskilda omständigheter.
Vad är skillnaden mellan Commutative och Associative Property?
• Både associativ egenskap och kommutativ egenskap är speciella egenskaper hos binäroperationerna, och vissa uppfyller dem och vissa gör inte.
• Dessa egenskaper kan ses i många former av algebraiska operationer och andra binära funktioner i matematik, såsom skärningspunkten och fackföreningen i uppsättningsteori eller de logiska anslutningarna.
• Skillnaden mellan kommutativ och associativ är att kommutativ egenskap anger att orden av elementen inte ändrar slutresultatet medan associativa egenskapstillstånd, att den ordning i vilken operationen utförs inte påverkar det slutliga svaret.
