Hur man multiplicerar vektorer

Vi kommer att titta på tre sätt att multiplicera vektorerna. Först kommer vi att titta på skalär multiplikation av vektorer. Sedan ska vi se på att multiplicera två vektorer. Vi kommer att lära oss två olika sätt att multiplicera vektorer, med hjälp av skalärprodukten och korsprodukten.

Hur Multiplicera vektorer av en skalar

När du multiplicerar en vektor av en skalär, multipliceras varje komponent av vektorn med skalären.

Antag att vi har en vektor , det ska multipliceras med skalären . Sedan skrivs produkten mellan vektorn och skalären som . Om , då skulle multiplikationen öka längden på med en faktor . Om , då, förutom att öka storleken på med en faktor , vektorns riktning skulle också vändas om.

Med avseende på vektorkomponenter multipliceras varje komponent med skalären. Till exempel, om en vektor , sedan .

Exempel

Momentumvektorn av ett objekt ges av , var är objektets massa och är hastighetsvektorn. För ett föremål med en massa av 2 kg med en hastighet av Fröken^-1, hitta momentumvektorn.

Momentet är kg m s^-1.

Hur man hittar den skalära produkten av två vektorer

De skalär produkt (även känd som punkt produkt) Mellan två vektorer och är skrivet som . Detta definieras som,

var är vinkeln mellan de två vektorerna om de placeras svans till svans enligt nedan:

Skalärprodukten mellan två vektorer ger en skalär mängd. Geometriskt är denna kvantitet lika med produkten av storleken av en vektors projektion på den andra och storleken på den "andra" vektorn:

Med hjälp av vektorkomponenterna längs Cartesian-planet kunde vi erhålla skalärprodukten enligt följande. Om vektorn och , då den skalära produkten

Exempel

Vektor och . Hitta .

Exempel

Arbetet gjort med en kraft , när det orsakar en förskjutning för ett objekt ges av, . Antag en kraft av N får en kropp att flytta, vars förskjutning under kraften är m. Hitta arbetet med kraften.

Exempel

Hitta vinkeln mellan de två vektorerna och .

Från definitionen av skalärprodukten, . Här har vi och .

Sedan,

Om två vektorer är vinkelräta mot varandra, så vinkeln mellan dem är 90^o. I detta fall, och så blir skalärprodukten 0. Speciellt för enhetsvektorer i det kartesiska koordinatsystemet noterar vi det,

För parallella vektorer, vinkeln mellan dem är 0^o. I detta fall, och skalärprodukten blir helt enkelt produkterna av vektornas storlekar. Särskilt,

Skalärprodukten är kommutativ. d.v.s.. .

Skalärprodukten är också fördelaktig. d.v.s.. .

Så här hittar du korsprodukten av två vektorer

De korsa produkt (även känd som vektorprodukt) Mellan två vektorer och är skrivet som . Detta definieras som,

Vektorprodukten eller korsprodukten, till skillnad från den skalära produkten, ger en vektor som svaret. Ovanstående formel ger vektorns storlek. För att få riktning av denna vektor, föreställ dig att vrida en skruvmejsel från riktningen av den första vektorn mot riktningen för den andra vektorn. Den riktning som skruvmejseln "går in" är vektorproduktens riktning.