Hur man hittar horisontella asymptoter
Share
Vad är en horisontal asymptote
En asymptot är en linje eller kurva som blir godtyckligt nära en given kurva. Med andra ord är det en linje nära en given kurva, så att avståndet mellan kurvan och linjen närmar sig noll när kurvan når högre / lägre värden. Kurvregionen som har en asymptot är asymptotisk. Asymptoter finns ofta i rotationsfunktioner, exponentiell funktion och logaritmiska funktioner. Asymptot parallellt med x-axeln är känd som en horisontell axel.
Hur man hittar den horisontella asymptoten
En asymptot existerar om en kurvens funktion uppfyller följande villkor. Om f (x) är kurvan, finns en horisontell asymptot om ,
Därefter existerar horisontella asymptoter med ekvation = C. Om funktionen närmar sig slutgiltigt värde (C) vid oändlighet har funktionen en asymptot vid det värdet och ekvationen för en asymptot är y = C. En kurva kan korsa denna linje vid flera punkter, men blir asymptotisk när den närmar sig oändligheten.
För att hitta asymptoten för en given funktion, hitta gränserna vid oändligheten.
Hitta horisontella asymptoter - Exempel
-
Exponentiella funktioner i form f (x) = ax och [a> 0]
Exponentiella funktioner är de enklaste exemplen på horisontella asymptoter.
Med gränserna för funktionen vid positiva och negativa oändligheter ger limx → -∞ enx = + ∞ och limx → -∞ enx = 0. Den högra gränsen är inte ett ändligt antal och tenderar att vara positiv oändlighet, men den vänstra gränsen närmar sig de ändliga värdena 0.
Därför kan vi säga att exponentiell funktion f (x) = ax har en horisontell asymptot vid 0. Ekvationen för asymptotlinjen är y = 0, som också är x-axeln. Eftersom a är ett positivt tal kan vi betrakta detta som ett generellt resultat.
När a = e = 2,718281828 är funktionen också känd som exponentiell funktion. f (x) = ex har särskilda egenskaper och därför viktig i matematik.
-
Rationella funktioner
En funktion av formen f (x) = h (x) / g (x) där h (x), g (x) är polynom och g (x) ≠ 0, är känd som en rationell funktion. Rationell funktion kan ha både vertikala och horisontella asymptoter.
jag. Tänk på funktionen f (x) = 1 / x
Funktion f (x) = 1 / x har både vertikala och horisontella asymptoter. 
För att hitta den horisontella asymptoten hitta gränserna vid oändligheten.
limx →= + ∞ 1 / x = 0+ och limx →= -∞ 1 / x = 0-
När x → + ∞, funktionen närmar sig 0 från den positiva sidan och när x → = -∞-funktionen närmar sig 0 från den negativa riktningen.
Eftersom funktionen har ett ändligt värde 0 när vi närmar sig oändligheter kan vi härleda att asymptoten är y = 0.
ii. Betrakta funktionen f (x) = 4x / (x2+1)
Återigen hitta gränserna vid oändlighet för att bestämma den horisontella asymptoten.
Återigen har funktionen asymptot y = 0, även i detta fall skär funktionen asymptotlinjen vid x = 0
III. Tänk på funktionen f (x) = (5x2+1) / (x2+1)
Att ta gränserna vid oändlighet ger,
Därför har funktionen ändliga gränser vid 5. Så är asymptoten y = 5
