Skillnad mellan slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelning

Slumpmässiga variabler vs sannolikhetsfördelning

Statistiska experiment är slumpmässiga experiment som kan upprepas i obestämd tid med en känd uppsättning resultat. Både slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelningar är associerade med sådana experiment. För varje slumpmässig variabel finns en associerad sannolikhetsfördelning som definieras av en funktion som kallas kumulativ fördelningsfunktion.

Vad är en slumpmässig variabel?

En slumpmässig variabel är en funktion som tilldelar numeriska värden till resultaten av ett statistiskt experiment. Med andra ord är det en funktion som definieras från provutrymmet i ett statistiskt experiment i uppsättningen av reella tal.

Tänk på ett slumpmässigt försök att vända ett mynt två gånger. De möjliga resultaten är HH, HT, TH och TT (H - heads, T - tales). Låt variabeln X vara det antal huvuden som observerats i experimentet. Därefter kan X ta värdena 0, 1 eller 2, och det är en slumpmässig variabel. Här kommer den slumpmässiga variabeln X att sätta S = HH, HT, TH, TT (provutrymmet) till uppsättningen 0, 1, 2 på ett sådant sätt att HH är mappad till 2, HT och TH är mappad till 1 och TT är mappad till 0. I funktionsnotering kan detta skrivas som: X: S → R där X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 och X TT) = 0.

Det finns två typer av slumpvariabler: diskret och kontinuerligt, följaktligen kan antalet möjliga värden som en slumpmässig variabel antar är högst räknas eller inte. I det föregående exemplet är den slumpmässiga variabeln X en diskret slumpmässig variabel eftersom 0, 1, 2 är en ändlig uppsättning. Tänk nu på det statistiska experimentet att hitta vikterna hos eleverna i en klass. Låt Y vara slumpmässig variabel definierad som en elevs vikt. Y kan ta något reellt värde inom ett visst intervall. Därför är Y en kontinuerlig slumpmässig variabel.

Vad är en sannolikhetsfördelning?

Sannolikhetsfördelning är en funktion som beskriver sannolikheten för att en slumpmässig variabel tar vissa värden.

En funktion som kallas kumulativ fördelningsfunktion (F) kan definieras från uppsättningen av reella tal till satsen av reella tal som F (x) = P (X ≤ x) (sannolikheten för att X är mindre än eller lika med x) för varje möjligt resultat x. Nu kan den kumulativa fördelningsfunktionen för X i det första exemplet skrivas som F (a) = 0, om a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

I fall av diskreta slumpvariabler kan en funktion definieras från uppsättningen möjliga resultat till uppsättningen reella tal på ett sådant sätt att ƒ (x) = P (X = x) (sannolikheten för att X är lika med x) för varje möjligt resultat x. Denna speciella funktion ƒ kallas sannolikhetsmassfunktionen för den slumpmässiga variabeln X. Nu kan sannolikhetsmassan i X i det första exemplet skrivas som ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 och ƒ (x) = 0 annars. Sålunda beskriver sannolikhetsmassefunktionen tillsammans med den kumulativa fördelningsfunktionen sannolikhetsfördelningen av X i det första exemplet.

Vid kontinuerliga slumpvariabler kan en funktion som kallas sannolikhetsdensitetsfunktionen (ƒ) definieras som ƒ (x) = dF (x) / dx för varje x där F är den kumulativa fördelningsfunktionen för den kontinuerliga slumpmässiga variabeln. Det är lätt att se att denna funktion uppfyller ∫ƒ (x) dx = 1. Sannolikhetsdensitetsfunktionen tillsammans med den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver sannolikhetsfördelningen av en kontinuerlig slumpmässig variabel. Exempelvis beskrivs den normala fördelningen (vilken är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning) med hjälp av sannolikhetsdensitetsfunktionen ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-μ)]²/ (2σ²)).