Skillnad mellan Power Series och Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

I matematik är en riktig sekvens en ordnad lista med reella tal. Formellt är det en funktion från uppsättningen av naturliga siffror i till realtalsatsen. Om en_när n^th Termen av en sekvens, vi betecknar sekvensen med eller av en₁, en₂,..., a_n,... .Till exempel, se sekvensen 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,.... Den kan betecknas som 1 / n.

Det är möjligt att definiera en serie med hjälp av sekvenser. En serie är summan av villkoren i en sekvens. Därför finns för varje sekvens en associerad sekvens och vice versa. Om en_n är sekvensen som behandlas, kan serien som bildas av den sekvensen representeras som:                                           

 Således är i det ovanstående exemplet den associerade serien 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Som namnen antyder är kraftserien en speciell typ av serie och används i stor utsträckning i Numerical Analysis och relaterad matematisk modellering. Taylor-serien är en speciell kraftserie som ger ett alternativt och lätt att manipulera sätt att representera kända funktioner.

Vad är Power-serien?

En kraftserie är en serie av formuläret

    

vilket är konvergent (möjligen) för något intervall centrerat vid c. Koefficienterna en_n kan vara reella eller komplexa nummer, och är oberoende av x; d.v.s.. dummyvariabeln.

Till exempel genom att ställa in en_n= 1 för varje n, och c = 0, effektserien 1 + x + x²+... + xⁿ+… erhålles. Det är lätt att observera att när x ε (-1,1) konvergerar denna effektserie till 1 / (1-x).          

En kraftserie konvergerar när x = c. De övriga värdena av x för vilken kraftserien konvergerar kommer alltid att vara i form av ett öppet intervall centrerat vid c. Det är, det kommer att vara ett värde 0 < R ≤ ∞ så att för varje x tillfredsställande | x-c | ≤R, kraftserien är konvergerande och för varje x  tillfredsställande | x-c |>R, kraftserien är divergerande. Detta värde R kallas radien för konvergens av kraftserien (R kan ta något verkligt värde eller positiv oändlighet).

Power-serien kan läggas till, subtraheras, multipliceras och delas med följande regler. Tänk på de två kraftserierna:       

   

                               .

Sedan,                 

d.v.s.. liknande termer läggs till eller subtraheras tillsammans. Det är också möjligt att multiplicera och dela upp de två kraftserierna med hjälp av identiteten,

Vad är Taylor-serien?

Taylor-serien definieras för en funktion f(x) som är oändligt differentierbar i ett intervall. Antar f(x) är differentierbar på ett intervall centrerat vid c. Sedan kraftserien som ges av

                                                                                                                                

kallas Taylor-serien expansion av funktionen f(x) handla om c. (Här f^(N)(c) Betecknar n^th derivat vid x = c). I Numerisk Analys används ett ändligt antal termer i denna oändliga expansion vid beräkning av värden vid punkter där serien är konvergerad till den ursprungliga funktionen.

En funktion f(x) sägs vara analytisk i intervallet (a, b), om för varje x e (a, b), Taylorserien av f(x) konvergerar till funktionen f(x). Till exempel är 1 / (1-x) analytisk på (-1,1), eftersom dess Taylor-expansion 1 + x + x²+... + xⁿ+... konvergerar till funktionen på det intervallet och e^x  är analytiskt överallt, sedan Taylor-serien av e^xkonvergerar till e^x för varje reellt tal x.

Vad är skillnaden mellan Power-serien och Taylor-serien?

1. Taylor-serien är en speciell klass av maktserier definierade endast för funktioner som är oändligt differentierbara på något öppet intervall.

2. Taylor-serien tar specialformuläret

        

medan en maktserie kan vara vilken serie som helst av formuläret