Skillnad mellan ortogonala och orthonormala

Ortogonal vs Orthonormal

I matematik används de två ortogonala och ortonformala orden ofta tillsammans med en uppsättning vektorer. Här används uttrycket "vektor" i den meningen att det är ett element i ett vektorutrymme - en algebraisk struktur som används i linjär algebra. För vår diskussion kommer vi att överväga ett inre produktutrymme - ett vektorutrymme V tillsammans med en inre produkt [] definierad på V.

Som ett exempel är för en inre produkt uppsättningen av alla tredimensionella positionsvektorer tillsammans med den vanliga punktprodukten.

Vad är ortogonalt?

En nonempty delmängd S av ett inre produktutrymme V sägs vara ortogonalt, om och endast om för varje distinkt du v i S, [u, v] = 0; dvs den inre produkten av u och v är lika med nollskalaren i det inre produktutrymmet.

Till exempel motsvarar i uppsättningen av alla tredimensionella positionsvektorer att man säger att för varje distinkt par positionsvektorer p och q i s, p och q är vinkelräta mot varandra. (Kom ihåg att den inre produkten i detta vektorutrymme är punktprodukten. Dotprodukten av två vektorer är lika med 0 om och endast om de två vektorerna är vinkelräta mot varandra.)

Tänk på uppsättningen S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), som är en delmängd av 3-dimensionella positionsvektorerna. Observera att (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Följaktligen är uppsättningen S är ortogonalt. I synnerhet sägs två vektorer vara ortogonala om deras inre produkt är 0. Därför är varje par av vektorer i Sär ortogonalt.

Vad är orthormalt?

En nonempty delmängd S av ett inre produktutrymme V sägs vara orthonormal om och endast om S är ortogonalt och för varje vektor u i S, [u, du] = 1. Därför kan man se att varje ortonormal uppsättning är ortogonal men inte vice versa.

Till exempel motsvarar i uppsättningen av alla tredimensionella positionsvektorer att man säger att för varje distinkt par positionsvektorer p och q i S, p och q är vinkelräta mot varandra, och för varje p i S, | P | = 1. Detta beror på villkoret [p, p] = 1 minskar till p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, vilket motsvarar | P | = 1. Därför kan vi, med tanke på en ortogonal uppsättning, alltid bilda en motsvarande ortonormal uppsättning genom att dividera varje vektor med dess storlek.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) är en ortonormal delmängd av uppsättningen av alla 3-dimensionella positionsvektorer. Det är lätt att se att det erhölls genom att dividera var och en av vektorerna i uppsättningen S, av deras storheter.

Vad är skillnaden mellan ortogonala och ortonformala?

• En nonempty delmängd S av ett inre produktutrymme V sägs vara ortogonalt, om och endast om för varje distinkt du v i S, [u, v] = 0. Det är dock orthormalt, om och endast om ett ytterligare villkor - för varje vektor u i S, [u, du] = 1 är nöjd.
• Vilken ortonormal uppsättning är ortogonal men inte vice versa.
• Vilken ortogonal uppsättning motsvarar en unik ortonormal uppsättning men en orthonormal uppsättning kan motsvara många ortogonala uppsättningar.