Skillnad mellan linjära och icke-linjära differentialekvationer

Linjära vs icke-linjära differentialekvationer
 

En ekvation innehållande minst en differentialkoefficient eller derivat av en okänd variabel är känd som en differentialekvation. En differentialekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Omfattningen av denna artikel är att förklara vad som är linjär differentialekvation, vad är olinjär differentialekvation, och vad är skillnaden mellan linjära och olinjära differentialekvationer.

Sedan utvecklingen av kalkylen i 18th century av matematikerna som Newton och Leibnitz har differentialekvationen spelat en viktig roll i matematikens historia. Differentialekvationer är av stor betydelse i matematik på grund av deras tillämpningsområde. Differensiella ekvationer är kärnan i varje modell vi utvecklar för att förklara varje scenario eller händelse i världen om det är fysik, teknik, kemi, statistik, ekonomisk analys eller biologi (listan är oändlig). Faktum är att till och med att räkningen blev en etablerad teori var det inte möjligt att analysera de intressanta problemen i naturen.

Resulterande ekvationer från en specifik applikation av kalkylen kan vara mycket komplexa och ibland inte lösliga. Det finns dock sådana som vi kan lösa, men kan se lika ut och förvirra. Därför kategoriseras för enklare identifiering av differentialekvationer genom deras matematiska beteende. Linjär och olinjär är en sådan kategorisering. Det är viktigt att identifiera skillnaden mellan linjära och olinjära differentialekvationer.

Vad är en linjär differentialekvation?

Anta att f: X → Y och f (x) = y, a differentialekvation utan olinjära termer av den okända funktionen y och dess derivat är känd som en linjär differentialekvation.

Det ställer villkoret att y inte kan ha högre indexvillkor som y², y³,... och multiplar av derivat som 

Det kan inte innehålla icke-linjära termer som Sin y, e^{y^ -2}, eller ln y. Det tar formen, 

var y och g är funktioner av x. Ekvationen är en differentiell ekvation för ordningen n, vilket är indexet för det högsta ordningsderivatet.

I en linjär differentialekvation är differentialoperatören en linjär operatör och lösningarna bildar ett vektorutrymme. Som en följd av lösningssatsens linjära natur är en linjär kombination av lösningarna också en lösning på differentialekvationen. Det är, om y₁ och y₂ är lösningar av differentialekvationen då C₁ y₁+ C₂ y₂ är också en lösning.

Linjäriteten av ekvationen är endast en parameter för klassificeringen, och den kan vidare kategoriseras i homogena eller icke-homogena och vanliga eller partiella differentialekvationer. Om funktionen är g= 0 är ekvationen en linjär homogen differentialekvation. Om f är en funktion av två eller flera oberoende variabler (f: X, T → Y) och f (x, t) = y , då är ekvationen en linjär partiell differentialekvation.

Lösningsmetoden för differentialekvationen är beroende av typen och koefficienterna för differentialekvationen. Det enklaste fallet uppstår när koefficienterna är konstanta. Klassiskt exempel på detta är Newtons andra lag om rörelse och dess olika tillämpningar. Newtons andra lag ger en andra ordning linjär differentialekvation med konstanta koefficienter.

Vad är en icke-linjär differentialekvation?

Ekvationer som innehåller olinjära termer kallas icke-linjära differentialekvationer.

 

Alla ovan är olinjära differentialekvationer. Icke-linjära differentialekvationer är svåra att lösa, därför krävs en nära studie för att få en korrekt lösning. Vid partiella differentialekvationer har de flesta ekvationerna ingen allmän lösning. Därför måste varje ekvation behandlas oberoende.

Navier-Stokes ekvation och Eulers ekvation i fluiddynamik, Einsteins fältekvationer av generell relativitet är välkända olinjära partiella differentialekvationer. Ibland kan appliceringen av Lagrange-ekvation till ett variabelt system resultera i ett system av olinjära partiella differentialekvationer.

Vad är skillnaden mellan linjära och icke-linjära differentialekvationer?

• En differentialekvation, som endast har linjära termer för den okända eller beroende variabeln och dess derivat, är känd som en linjär differentialekvation. Den har ingen term med den beroende variabeln för index som är högre än 1 och innehåller inte någon multipel av dess derivat. Det kan inte ha olinjära funktioner som trigonometriska funktioner, exponentiell funktion och logaritmiska funktioner med avseende på den beroende variabeln. Varje differentialekvation som innehåller ovan nämnda termer är en olinjär differentialekvation.

• Lösningar av linjära differentialekvationer skapar vektorutrymme och differentialoperatören är också en linjär operatör i vektorutrymme.

• Lösningar av linjära differentialekvationer är relativt enklare och generella lösningar finns. För olinjära ekvationer finns i de flesta fall inte den allmänna lösningen och lösningen kan vara problemspecifik. Detta gör lösningen mycket svårare än de linjära ekvationerna.