Skillnad mellan integration och summering

Integration vs Summation
 

I högskolans matematik finns integration och summering ofta i matematiska verksamheter. De brukar användas som olika verktyg och i olika situationer, men de delar en mycket nära relation.

Mer om Summation

Summatisering är funktionen att lägga till en sekvens av tal och operationen betecknas ofta av den grekiska bokstaven för kapital sigma Σ. Den används för att förkorta summeringen och lika med summan / summan av sekvensen. De används ofta för att representera serien, som i huvudsak är oändliga sekvenser sammanfattade. De kan också användas för att indikera summan av vektorer, matriser eller polynomier.

Sammanfattningen görs vanligtvis för ett antal värden som kan representeras av en allmän term, såsom en serie som har en gemensam term. Utgångspunkten och slutpunkten för summeringen är känd som den nedre gränsen och övre gränsen för summeringen.

Till exempel summan av sekvensen a₁, en₂, en₃, en₄, ..., a_n är en₁ + en₂ + en₃ +... + a_n som lätt kan representeras med hjälp av summeringsnotationen som Σⁿ_{i = 1} en_jag; jag kallas summationsindexet.

Många variationer används för summeringen baserat på applikationen. I vissa fall kan övre gränsen och nedre gränsen anges som ett intervall eller ett intervall, såsom Σ_1≤i≤100 en_jag och Σ_{i∈ [1100]} en_jag. Eller det kan ges som en uppsättning tal som Σ_i∈P en_jag , där P är en definierad uppsättning.

I vissa fall kan två eller flera sigma tecken användas, men de kan generaliseras enligt följande; Σ_j Σ_k en_jk = Σ_{j, k} en_jk.

Sammanfattningen följer också många algebraiska regler. Eftersom den inbäddade operationen är tillägget kan många av de vanliga reglerna för algebra tillämpas på summan själv och för de enskilda termerna som beskrivs av summeringen.

Mer om integration

Integrationen definieras som omvänd process av differentiering. Men i sin geometriska vy kan det också betraktas som det område som är inneslutet av funktionens och axelns kurva. Därför ger beräkningen av området värdet av ett bestämt integral som visas i diagrammet.

Bildkälla: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Värdet av det bestämda integralet är faktiskt summan av de små remsorna inuti kurvan och axeln. Området på varje remsa är höjden × bredden vid punkten på den aktuella axeln. Bredd är ett värde vi kan välja, säg Δx. Och höjden är ungefär värdet av funktionen på den övervägda punkten, säg f(x_jag). Av diagrammet är det uppenbart att ju mindre remsor är bättre, så passar remsorna sig inuti det avgränsade området, därmed bättre approximation av värdet.

Så i allmänhet den bestämda integralen jag, mellan punkterna a och b (dvs i intervallet [a, b] där ajag ≅ f(x₁) Ax + f(x₂) Δx + ⋯ + f(x_n) Δx, där n är antalet remsor (n = (b-a) / xx). Denna summering av området kan enkelt representeras med hjälp av summeringsnotationen som jag ≅ Σⁿ_{i = 1} f(x_jag) Ax. Eftersom approximationen är bättre när Δx är mindre kan vi beräkna värdet när Δx → 0. Därför är det rimligt att säga jag = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_jag) Ax.

Som en generalisering från ovanstående koncept kan vi välja Δx baserat på det övervägda intervallet indexerat av i (val av områdets bredd baserat på positionen). Då får vi

jag= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_jag) Δx_jag = _en∫^b f(X) dx

Detta är känt som funktionen Reimann Integral f(x) i intervallet [a, b]. I detta fall är a och b känt som den övre gränsen och nedre gränsen för integralet. Reimann integral är en grundläggande form av alla integrationsmetoder.

I huvudsak är integration summation av området när rektangelens bredd är oändlig.

Vad är skillnaden mellan Integration och Summation?

• Summatisering lägger till en sekvens av siffror. Vanligtvis ges summeringen i denna form Σⁿ_{i = 1} en_jag när termerna i sekvensen har ett mönster och kan uttryckas med en allmän term.

• Integration är i grunden det område som är begränsat av funktionens kurva, axeln och övre och nedre gränserna. Detta område kan ges som summan av mycket mindre områden som ingår i det avgränsade området.

• Summatisering innebär de diskreta värdena med de övre och nedre gränserna, medan integrationen innefattar kontinuerliga värden.

• Integration kan tolkas som en speciell summeringsform.

• I numeriska beräkningsmetoder utförs integration alltid som en summering.