Skillnad mellan differentiering och derivat

Differentiering mot derivat
 

I differentialkalkylen är derivat och differentiering nära besläktade men mycket olika och representerade två viktiga matematiska begrepp relaterade till funktioner.

Vad är derivat?

Derivat av en funktion mäter den takt vid vilken funktionsvärdet ändras när ingångsändringarna ändras. I flera variabla funktioner beror ändringen i funktionsvärdet på riktningen för förändringen av värdena för de oberoende variablerna. Därför väljs en specifik riktning i sådana fall och funktionen differentieras i den specifika riktningen. Det här derivatet kallas riktningsderivatet. Partiella derivat är en speciell typ av riktningsderivat.

Derivat av en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen vart det existerar. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningstakten för funktionen f längs vektorns riktning u. I fallet med en värderingsfunktion reduceras detta till den välkända definitionen av derivatet,  

Till exempel, är överallt differentierbar, och derivatet är lika med gränsen, , vilket är lika med . Derivat av funktioner som   finns överallt. De är lika med funktionerna .                                                                                

Detta är känt som det första derivatet. Vanligtvis det första derivatet av funktionen f betecknas av f ⁽¹⁾. Nu med den här notationen är det möjligt att definiera högre orderderivat. är det andra ordningsriktningsderivatet och betecknar n^th derivat av f ⁽ⁿ⁾ för varje n, ,  definierar n^th derivat.

Vad är differentiering?

Differentiering är processen att hitta derivatet av en differentierbar funktion. D-operatör betecknad av D representerar differentiering i vissa sammanhang. Om x är den oberoende variabeln då D ≡ ^d/_dx. D-operatören är en linjär operatör, dvs för vilken som helst två differentierbar funktion f och g och konstant c, följande egenskaper håller.

jag.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(cf) = CD(f )

Med D-operatören kan de andra reglerna som är associerade med differentiering uttryckas enligt följande. D(f g) = D(f ) g +f D(G) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(G)]}/_g² och D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

Till exempel när F (x) = x²synd x är differentierad med hänsyn till x med hjälp av de angivna reglerna kommer svaret att vara 2xsynd x -+ x²cosx.