Skillnad mellan aritmetisk sekvens och geometrisk sekvens

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens
 

Studien av mönster av siffror och deras beteende är en viktig studie inom matematikområdet. Ofta kan dessa mönster ses i naturen och hjälper oss att förklara deras beteende vetenskapligt. Aritmetiska sekvenser och geometriska sekvenser är två av de grundläggande mönstren som förekommer i siffror, och finns ofta i naturfenomen.

Sekvensen är en uppsättning beställda nummer. Antalet element i sekvensen kan antingen vara ändliga eller oändliga.

Mer om Aritmetisk Sequence (Aritmetrisk Progression)

En aritmetisk sekvens definieras som en sekvens av siffror med en konstant skillnad mellan varje konsekutiv term. Det är också känt som aritmetisk progression.

Aritmetisk Sequnece ⇒ a₁, en₂, en_3, en₄,..., a_n ; där en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, och så vidare.

Om den ursprungliga termen är a₁ och den gemensamma skillnaden är d, då n^th sekvensens längd ges av;

en_n = a₁ + (N-1) d

Genom att ta ovanstående resultat vidare, n^th Termen kan också ges som;

en_n = a_m + (N-m) d, där en_m är en slumpmässig term i sekvensen så att n> m.

Satsen av jämntal och uppsättningen udda tal är de enklaste exemplen på aritmetiska sekvenser, där varje sekvens har en gemensam skillnad (d) av 2.

Antalet termer i en sekvens kan vara antingen oändliga eller ändliga. I det oändliga fallet (n → ∞) tenderar sekvensen att vara oändlig beroende på den gemensamma skillnaden (a_n → ± ∞). Om vanlig skillnad är positiv (d> 0) tenderar sekvensen att vara positiv oändlighet och om vanlig skillnad är negativ (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Summan av termerna i den aritmetiska sekvensen är känd som den aritmetiska serien: S_n= a₁ + en₂ + en₃ + en₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} en_jag; och S._n = (n / 2) (a₁ + en_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] ger värdet av serien (S_n).

Mer om Geometrisk Sequence (Geometrisk Progression)

En geometrisk sekvens definieras som en sekvens i vilken kvoten av några två på varandra följande termer är en konstant. Detta är också känt som geometrisk progression.

Geometrisk sekvens ⇒ a₁, en₂, en₃, en₄,..., a_n; där en₂/en₁ = r, a₃/en₂ = r, och så vidare, där r är ett reellt tal.

Det är lättare att representera den geometriska sekvensen med hjälp av det gemensamma förhållandet (r) och den ursprungliga termen (a). Därför den geometriska sekvensen ⇒ a₁, en₁r, a₁r², en₁r³,..., a₁r^n-1.

Den generella formen av n^th villkor som anges av a_n = a₁r^n-1. (Förlora prenumerationen av den ursprungliga termen ⇒ a_n = ar^n-1)

Den geometriska sekvensen kan också vara ändlig eller oändlig. Om antalet termer är ändliga, sägs sekvensen vara ändlig. Och om villkoren är oändliga kan sekvensen antingen vara oändlig eller ändlig beroende på förhållandet r. Det gemensamma förhållandet påverkar många av egenskaperna i geometriska sekvenser. 

r> o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerar - exponentiell förfall, dvs an → 0, n → ∞
	r = 1	Konstant sekvens, dvs an = konstant
	r> 1	Sekvensen avviker - exponentiell tillväxt, dvs an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen är oscillerande men konvergerar
	r = 1	Sekvensen är alternerande och konstant, dvs an = ± konstant
	r < -1	Sekvensen växlar och avviker. d.v.s.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	Sekvensen är en sträng av nollor

N.B: I samtliga fall ovan a₁ > 0; Om en₁ < 0, the signs related to a_n kommer att inverteras.

Tidsintervallet mellan studsarna av en boll följer en geometrisk sekvens i den idealiska modellen, och det är en konvergent sekvens.

Summan av termerna i den geometriska sekvensen är känd som en geometrisk serie; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} ar^jag. Summan av den geometriska serien kan beräknas med hjälp av följande formel.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); där a är den ursprungliga termen och r är förhållandet.

Om förhållandet r <1, ​​konvergerar serien. För en oändlig serie ges värdet av konvergens av S_n = a / (1-r) 

Vad är skillnaden mellan aritmetisk och geometrisk sekvens / progression?

• I en aritmetisk sekvens har alla två på varandra följande termer en gemensam skillnad (d), medan i geometriska sekvenser har två konsekutiva termer en konstant kvotient (r).

• I en aritmetisk sekvens är variationen av termerna linjär, d.v.s. en rak linje kan dras passera genom alla punkterna. I en geometrisk serie är variationen exponentiell; antingen växande eller sönderfall baserat på det gemensamma förhållandet.

• Alla oändliga aritmetiska sekvenser är divergerande, medan oändliga geometriska serier antingen kan vara divergerande eller konvergerande.

• Den geometriska serien kan visa oscillation om förhållandet r är negativt medan den aritmetiska serien inte visar oscillation