Skillnad mellan aritmetisk och geometrisk serie

Aritmetik vs Geometrisk Serie
 

Den matematiska definitionen av en serie är nära relaterad till sekvenserna. En sekvens är en ordnad uppsättning tal och kan antingen vara en ändlig eller oändlig uppsättning. En sekvens av siffror med skillnaden mellan två element som är en konstant är känd som en aritmetisk progression. En sekvens med en konstant kvotient av två på varandra följande siffror är känd som en geometrisk progression. Dessa framsteg kan antingen vara ändliga eller oändliga, och om det är ändamålsenligt, kan antalet termer räknas, annars otalbart.

I allmänhet kan summan av elementen i en progression definieras som en serie. Summan av en aritmetisk progression är känd som en aritmetisk serie. På samma sätt är summan av en geometrisk progression känd som en geometrisk serie.

Mer om Aritmetic Series

I en aritmetisk serie har de successiva termerna en konstant skillnad.

S_n = a₁ + en₂ + en₃ + en₄ +⋯ + a_n = Σⁿ_{i = 1} en_jag ; där en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, och så vidare.

Denna skillnad d är känd som den gemensamma skillnaden, och n^th termen ges av a_n = a₁+ (N-1) d; där en₁ är första termen.

Seriens beteende förändras baserat på den gemensamma skillnaden d. Om den gemensamma skillnaden är positiv tenderar progressionen att vara positiv oändlighet, och om den gemensamma skillnaden är negativ tenderar den mot den negativa oändligheten.

Summan av serien kan erhållas med följande enkla formel, som först utvecklades av indiska astronomen och matematiker Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ en_n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Summan S_n kan antingen vara ändlig eller oändlig, baserat på antal villkor.

Mer om Geometric Series

En geometrisk serie är en serie med kvoten av de successiva numren konstant. Det är en viktig serie som finns i studien av serien, på grund av de egenskaper den har.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = Σⁿ_{i = 1} ar^jag

Baserat på förhållandet r kan seriens beteende kategoriseras enligt följande. r = | r | ≥1 serien avviker; r≤1-serien konvergerar. Också om r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Summan av den geometriska serien kan beräknas med hjälp av följande formel. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); där a är den ursprungliga termen och r är förhållandet. Om förhållandet r≤1, konvergerar serien. För en oändlig serie ges värdet av konvergens av S_n= a / (1-r).

Geometriska serien har många tillämpningar inom fysikvetenskap, teknik och ekonomi

Vad är skillnaden mellan aritmetisk och geometrisk serie?

• En aritmetisk serie är en serie med en konstant skillnad mellan två intilliggande termer.

• En geometrisk serie är en serie med en konstant kvot mellan två på varandra följande termer.

• Alla oändliga aritmetiska serier är alltid divergerande, men beroende på förhållandet kan den geometriska serien antingen vara konvergerande eller divergerande.

• Den geometriska serien kan ha oscillation i värdena; det vill säga siffrorna ändrar sina tecken alternativt, men den aritmetiska serien kan inte ha oscillationer.