Skillnad mellan bestämda och obestämda integreringar

Calculus är en viktig del av matematiken, och differentiering spelar en kritisk roll i beräkningen. Differentieringens inversa process är känd som integration, och inversen är känd som integralet, eller helt enkelt sätts, den inversa av differentiering ger ett inslag. Baserat på de resultat som de producerar integralerna är uppdelade i två klasser, dvs bestämda och obestämda integraler.

Definitivt integrerat

Det bestämda integralet av f (x) är ett NUMBER och representerar området under kurvan f (x) från x = a till x = b.

Ett bestämt integral har övre och nedre gränser på integralerna, och det kallas bestämt för att vi i slutet av problemet har ett tal - det är ett bestämt svar.

Obestämd Integral

Den obestämda integralen av f (x) är en FUNCTION och svarar på frågan "Vilken funktion när differentierad ger f (x)?”

Med obestämd integral finns inga övre och nedre gränser på integralen här, och vad vi får är ett svar som fortfarande har xär i det och kommer också att ha en konstant (vanligen betecknad C) i det.

Obestämd integral ger vanligtvis en generell lösning till differentialekvationen.

Obestämd integral är mer av en allmän integrationsform, och den kan tolkas som anti-derivatet av den ansedda funktionen.

Antag differentiering av funktionen F leder till en annan funktion f, och integrationen av f ger integralet. Symboliskt är detta skrivet som

F (x) = ∫ƒ (x) dx

eller

F = ∫ƒ dx

var båda F och ƒ är funktioner av x, och F är differentierbar. I ovanstående form kallas det en Reimann-integral och den resulterande funktionen åtföljer en godtycklig konstant.

En obestämd integral producerar ofta en familj av funktioner; Därför är integralet obestämt.

Integrals och integrationsprocesser ligger i centrum för att lösa differentialekvationer. I motsats till stegen i differentiering följer stegvis integration inte alltid en klar och standard rutin. Ibland ser vi att lösningen inte uttryckligen kan uttryckas när det gäller elementär funktion. I det fallet ges den analytiska lösningen ofta i form av en obestämd integral.

Grundläggande teorem av Calculus

Det bestämda och det obestämda integralet kopplas samman med grundtestet för analysen enligt följande: För att beräkna en bestämd integral, hitta obestämd integral (även känd som anti-derivat) av funktionen och utvärdera vid slutpunkterna x = a och x = b.

Skillnaden mellan bestämda och obestämda integraler kommer att framgå när vi har utvärderat integralerna för samma funktion.

Tänk på följande integral:

OK. Låt oss göra båda och se skillnaden.

För integration måste vi lägga till ett till indexet som leder oss till följande uttryck:

Vid denna tidpunkt C är bara en konstant för oss. Ytterligare information behövs i problemet för att bestämma exakt värdet av C.

Låt oss utvärdera samma integral i sin bestämda form, dvs med de övre och nedre gränserna som ingår.

Grafiskt sett beräknar vi nu området under kurvan f (x) = y³ mellan y = 2 och y = 3.

Det första steget i denna utvärdering är detsamma som den obestämda integrerade utvärderingen. Den enda skillnaden är att den här gången lägger vi inte till konstanten C.

Uttrycket i detta fall ser ut som följer:

Detta leder till:

I huvudsak ersatte vi 3 och sedan 2 i uttrycket och fick skillnaden mellan dem.

Detta är det bestämda värdet i motsats till användningen av konstant C tidigare.

Låt oss utforska den konstanta faktorn (med avseende på obestämd integral) i mer detalj.

Om differentialen av y³ är 3y², sedan

∫3y²dy = y³

dock, 3y² kan vara skillnaden i många uttryck, varav några inkluderar y³-5, y³+7, etc ... Detta innebär att omvändningen inte är unik eftersom konstanten är oräknad för under operationen.

Så i allmänhet, 3y² är skillnaden mellan y³+C var C är någon konstant. För övrigt är C känt som "konstant av integration".

Vi skriver detta som:

∫ 3y².dx = y³ + C

Integrationstekniker för obestämd integral, såsom tabelluppslag eller Risch-integration, kan lägga till nya diskontinuiteter under integrationsprocessen. Dessa nya diskontinuiteter framträder eftersom anti-derivaten kan kräva införande av komplexa logaritmer.

Komplexa logaritmer har en hoppa diskontinuitet när argumentet passerar den negativa reella axeln och integrationsalgoritmerna kan ibland inte hitta en representation där dessa hoppar avbryter.

Om det bestämda integralet utvärderas genom att först beräkna ett obestämt integral och sedan ersätta integrationsgränserna i resultatet måste vi vara medvetna om att obestämd integration kan ge diskontinuiteter. Om det gör det måste vi dessutom undersöka diskontinuiteterna i integrationsintervallet.