Skillnad mellan rationella och irrationella siffror

Uttrycket "siffror" antyder vad som allmänt klassificeras som positiva heltal värden större än noll. Andra klasser av siffror inkluderar heltal och fraktioner, komplex och riktiga nummer och även negativa heltal värden.

Förlängning av klassificeringarna av siffror ytterligare möter vi rationell och irrationell tal. Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en fraktion. Med andra ord kan det rationella talet skrivas som ett förhållande av två tal.

Tänk på exempelvis numret 6. Det kan skrivas som förhållandet mellan två siffror viz. 6 och 1, vilket leder till förhållandet 6/1. Likaledes, 2/3, som är skrivet som en fraktion, är ett rationellt tal.

Vi kan således definiera ett rationellt tal, som ett tal som skrivits i form av en fraktion, där både täljaren (numret på toppen) och nämnaren (numret på botten) är heltal. Enligt definition är därför hela hela numret också ett rationellt tal.

Ett förhållande av två stora tal som (129.367.871)/(547.724.863) skulle också utgöra ett exempel på ett rationellt tal av den enkla anledningen att både täljare och nämnare är heltal.

Omvänt kan ett tal som inte kan uttryckas i form av en fraktion eller ett förhållande betecknas som irrationellt. Det vanligast citerade exemplet på ett irrationellt nummer är √2 (1.414213...). Ett annat populärt exempel på ett irrationellt tal är den numeriska konstanten π (3.141592 ... ).

Ett irrationellt tal kan skrivas som ett decimaltal, men inte som en fraktion. Irrationella tal används ofta inte i det dagliga livet, även om de finns på nummerlinjen. Det finns ett oändligt antal irrationella tal mellan 0 och 1 på nummerlinjen. Ett irrationellt tal har oändliga, icke upprepande siffror till höger om decimalpunkten.

Observera att det ofta citerade värdet av 22/7 för konstanten π är faktiskt bara en värden av π. Per definition är omkretsen av en cirkel dividerad med två gånger dess radie värdet av π. Detta leder till flera värden av π, inklusive, men inte begränsat till, 333/106, 355/113 och så vidare1.

Endast fyrkantens rötter på torget; d.v.s. de kvadratiska rötterna hos perfekta rutor är rationella.

√1= 1 (Rationell)

√2 (Irrationell)

√3 (Irrationell)

√4 = 2 (Rationell)

√5, √6, √7, √8 (Irrationell)

√9 = 3 (Rationell) och så vidare.

Vidare noterar vi att endast nth rötter av nkrafterna är rationella. Således 6:e rot av 64 är rationell, eftersom 64 är en 6:e makt, nämligen 6:e kraft av 2. Men 6:e rot av 63 är irrationell. 63 är inte perfekt 6th kraft.

Oundvikligen kommer den decimalrepresentationen av irrationella saker att komma in i bilden och ger några intressanta resultat.

När vi uttrycker a rationell talet som ett decimaltal, då kommer antingen decimalen att vara exakt (som i 1/5= 0,20) eller det kommer att bli inexakt (som i, 1/3 ≈ 0,3333). I båda fallen kommer det att finnas ett förutsägbart mönster av siffror. Observera att när en irrationell talet uttrycks som ett decimaltal, då är det klart att det blir oförutsatt, för annars skulle numret vara rationellt.

Dessutom kommer det inte att finnas ett förutsägbart mönster av siffror. Till exempel,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nu, med rationella tal, möter vi ibland 1/11 = 0,0909090.

Användningen av både lika tecken (=) och tre punkter (ellips) innebär att det inte är möjligt att uttrycka 1/11 Precis som ett decimaltal kan vi fortfarande approximera det med så många decimalkal som tillåts komma nära 1/11.

Således decimalsformen av 1/11 anses vara otillräcklig. På samma sätt, decimalformen för  ¼ som är 0,25, är exakt.

Kommer till decimalformen för irrationella tal kommer de alltid att vara oförmåga. Fortsätter med exemplet på √2, när vi skriver √2 = 1.41421356237... (notera användningen av ellips), innebär det omedelbart att ingen decimal för √2 kommer att vara exakt. Vidare kommer det inte att finnas ett förutsägbart mönster av siffror. Med hjälp av begrepp från numeriska metoder kan vi igen rationellt approximera för så många decimaler som till en sådan punkt som vi är nära √2.

Varje anteckning om rationella och irrationella tal kan inte sluta utan det obligatoriska beviset på varför √2 är irrationellt. Därigenom belyser vi också det klassiska exemplet på a bevis av fortsradiction.

Antag att √2 är rationellt. Detta leder oss att representera det som ett förhållande av två heltal, säg p och q.

√2 = p / q

Naturligtvis, p och q har inga gemensamma faktorer, för om det fanns några gemensamma faktorer skulle vi ha avbrutit dem från täljaren och nämnaren.

Squaring båda sidor av ekvationen, hamnar vi med,

2 = s2 / q2

Detta kan bekvämt skrivas som,

p2 = 2q2

Den sista ekvationen föreslår att p2 är jämnt. Detta är endast möjligt om p själv är jämn. Detta innebär i sin tur att p2 är delbar av 4. Därav, q2 och följaktligen q måste vara jämn. Så p och q är båda jämn vilket står i motsats till vårt första antagande om att de inte har några gemensamma faktorer. Således, √2 kan inte vara rationellt. Q.E.D.